यदि int {frac{{dx}}{{{x^3}{{left( {1 + {x^6}} | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{x^{3}(1+x^{6})^{2 / 3}}$ है।हम कोष्ठक से $x^6$ को बाहर निकालकर समाकलन को फिर से लिख सकते हैं:$I = \int \frac{d

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$ - \frac{1}{{2{x^3}}}$

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(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{x^{3}(1+x^{6})^{2 / 3}}$ है।हम कोष्ठक से $x^6$ को बाहर निकालकर समाकलन को फिर से लिख सकते हैं:$I = \int \frac{dx}{x^{3} \cdot (x^6)^{2/3} (1 + x^{-6})^{2/3}} = \int \frac{dx}{x^{3} \cdot x^4 (1 + x^{-6})^{2/3}} = \int \frac{dx}{x^7 (1 + x^{-6})^{2/3}}$.माना $t = 1 + x^{-6}$ है। तब $dt = -6x^{-7} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^7} = -\frac{dt}{6}$।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int -\frac{1}{6} t^{-2/3} dt = -\frac{1}{6} \cdot \frac{t^{1/3}}{1/3} + C = -\frac{1}{2} t^{1/3} + C$.$t = 1 + x^{-6} = \frac{x^6+1}{x^6}$ वापस रखने पर:$I = -\frac{1}{2} \left( \frac{1+x^6}{x^6} \right)^{1/3} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1+x^6)^{1/3}}{x^2} + C$.इसे दिए गए रूप $xf(x)(1+x^6)^{1/3} + C$ के साथ तुलना करने पर:$xf(x)(1+x^6)^{1/3} = -\frac{1}{2x^2} (1+x^6)^{1/3}$.दोनों पक्षों को $x(1+x^6)^{1/3}$ से विभाजित करने पर:$f(x) = \frac{-1}{2x^3}$.

यदि $\int {\frac{{dx}}{{{x^3}{{\left( {1 + {x^6}} \right)}^{2/3}}}} = xf\left( x \right){{\left( {1 + {x^6}} \right)}^{\frac{1}{3}}} + C} $ जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है,तो फलन $f(x)$ किसके बराबर है?

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समाकलन $\int \frac{x^2 + \cos^2 x}{1 + x^2} \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

यदि $\int \frac{1}{(\sin x + 4)(\sin x - 1)} dx = A \frac{1}{\tan \frac{x}{2} - 1} + B \tan^{-1}(f(x)) + C$ है,तो

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